En este
nuevo trabajo de "Cuaderno" veremos como medían distancias a puntos inaccesibles
los antiguos arquitectos, por ejemplo: la anchura de un río para poder
construir un puente; un valle para construir un acueducto; unas alturas para
determinar dónde situar un capitel en una columna; una cornisa; el arranque de
un peralte de un arco o el alféizar de un ventanal.
El
sistema básico de medida era la cuerda, aunque ya las trataban industrialmente
para asegurar la máxima precisión con una mezcla de cera y resina, nunca media
lo mismo una distancia horizontal que una vertical donde el propio peso de la
cuerda y la fuerza de la gravedad influían bastante. Además tampoco había
tantas cuerdas de medir a disposición de los técnicos ni eran prácticas a la
hora de moverlas. Pero ya hemos visto que arquitectos e ingenieros, no olvidemos
que ingeniero viene de ingenioso, encontraban buenas y prácticas soluciones
para todo.
Tales
de Mileto que habría viajado a Egipto de donde habría sacado buenas ideas que
llevó a Grecia, dicen que entre otras actividades se dedicaba a determinar
cuánto tiempo tardarían los barcos enemigos a llegar a la costa, de esta manera
la población se podía salvar y ocultar. Estos conocimientos que los egipcios
utilizaban para sus pirámides, el señor Tales los ordenó y presentó en formato
teoremas.
Este
trabajo va de triángulos, pero no necesitaremos senos ni cosenos, al final todo
se reduce a una operación matemática tan sencilla y que nos soluciona la mitad
de nuestros problemas, como es la "regla de tres".
Pitágoras
entre otros descubrimientos, nos presentó el triángulo rectángulo
"perfecto" donde los lados valen 3, 4 y 5 unidades respectivamente,
en este trabajo utilizaremos exclusivamente este triángulo, significa que todos
los siguientes dibujos han sido adaptados al triángulo de Pitágoras. Lo normal
en la vida real es que todos los triángulos sean diferentes y la única cosa en
común, es que deben ser triángulos rectángulos. El hecho de trabajar con un
solo triángulo, hace que podamos mantener continuamente todas las propiedades y
ver mejor la evolución del proceso.
Dibujo (A)
En azul se representa en perspectiva el triángulo
pitagórico con valor 3, 4 y 5, la base A vale 3
unidades, la altura B vale 4 unidades, la
hipotenusa valdría 5 unidades. En rojo se ha
dibujado un segundo triángulo donde la base a
vale 1/3 de A y b
tiene su propio valor (1.3333).
El
triángulo rojo lo podemos mover a nuestra
voluntad y mientras no le variamos las cotas mantendremos las condiciones del
teorema.
El
teorema de Tales nos dice que si a un triángulo le trazamos una línea paralela
a cualquiera de sus lados, se obtiene un segundo triángulo que es semejante al
triángulo original.
En
nuestro dibujo, las líneas paralelas son B y b.
En
consecuencia podríamos establecer la siguiente relación: b / a = B / A
Dibujo (B)
Podemos
ver a un arquitecto (dibujo adaptado de
un modelo de Villar de Honnecourt) de pie frente a una columna que está
midiendo para saber si ha llegado a la cota correcta para situar el capitel. El
arquitecto no se mira la columna, está mirando al suelo. En el lugar donde hay
una pequeña flecha negra dibujada, el arquitecto tendría sencillamente un plato
con agua o bien un espejo. Todos podemos probar el experimento en casa: ponemos
un espejo en el suelo y desde una cierta distancia debemos poder ver reflejada
la lámpara del comedor, a partir de aquí podríamos calcular la altura de
nuestro piso.
En este
caso conocemos las siguientes medidas: a, b, y A. Tenemos que
calcular B.
La
solución sale directa: B = (A * b) / a.
La
única cosa que hemos hecho con el triángulo rojo,
ha sido hacerlo pivotar 180 º sobre el vértice común.
Dibujo (C)
En este
caso mediremos la anchura de un río para tender un puente, luego ya decidiremos
la forma que tendrá.
Para
empezar necesitamos una referencia física al otro lado del río, aquí se ha
dibujado un árbol que estará situado a una cierta distancia del cauce;
distancia que tendremos que calcular aproximadamente, ya que después la deberemos
restar (debemos tener presente que no
podemos acceder físicamente al otro lado).
En
nuestra orilla necesitamos un espacio suficientemente grande y plano donde
poder clavar unas estacas que nos han de permitir determinar las líneas de los
dos triángulos. El señor Tales tenía toda la arena de la playa para poder
clavar estacas y su referencia visual en lugar del árbol era un barco de
guerra.
También
tenemos que calcular el lado B del triángulo
que se resuelve igual que el caso anterior, con la particularidad de que a la
medida que nos dé deberemos restar la distancia del árbol al río y también la
distancia de la base de los triángulos hasta el río.
La
única cosa que hemos hecho con el triángulo rojo,
ha sido dejarlo "caer" 180 º sobre la línea de base que tienen los
dos triángulos en común.